Fourier Transform Là Gì
1.1. Mục đích
Tìm đọc về đổi khác Fourier và bí quyết biểu diễn công dụng trong miền tần số.
Bạn đang xem: Fourier transform là gì
Tìm gọi về phép chập 1 chiều, 2 chiều, triển khai phép chập vào miền tần số.
1.2. Các công thức được sử dụng
Tích phân cùng với hàm mũ:
Công thức Euler:
Từ bí quyết Euler tất cả quan hệ lượng giác:
Tổng cấp cho số nhân:
1.3. Chuyển đổi Fourier cho bộc lộ liên tục
Fourier Transform là phương pháp biến đổi tín hiệu liên tục từ miền thời hạn sang miền tần số.
Công thức biến hóa Fourier như sau:
Trong đó:
F(w) là kết quả biến hóa tín hiệu trường đoản cú miền thời hạn sang miền tần số.w là tần số góc, w = 2πf, đơn vị rad/s.j là biến hóa phức (kỹ sư điện, điện tử áp dụng j nắm cho i để khác nhau với ký kết hiệu dòng điện).p(t) là tín hiệu tiếp tục trong miền thời gian.Ví dụ: chuyển đổi Fourier cho tín hiệu
Sử dụng cách làm (1.5):
Sử dụng quan hệ (1.3) mang lại (1.7), chiếm được kết quả:
Hình 1: biểu hiện p(t) và biến đổi Fourier
Kết trái của thay đổi Fourier có màn biểu diễn phức như sau:
Trong đó, Re(w) và Im(w) khớp ứng là phần thực cùng phần ảo của chuyển đổi Fourier.
Giá trị biên độ (Modulus) tính như sau:
Giá trị pha (phase) tính như sau:
Có thể cần sử dụng dấu của Re(w) cùng Im(w) để xác minh pha đang ở góc cạnh phần tư nào (do pha chuyển đổi từ 0 mang lại 2π).
Hình 2: Biên độ cùng pha của F(w)
Ta có thay đổi Fourier ngược mang lại phép biến hóa tín hiệu từ miền tần số về miền thời gian. Phép chuyển đổi ngược tư tưởng theo cách làm sau:
Biến thay đổi Fourier cho thấy thêm các tần số khiến cho tín hiệu vào miền thời hạn và giá trị biên độ của tần số kia tính theo F(w). Trường hợp cộng toàn bộ các biểu hiện đó thì ta chiếm được tín hiệu tương đồng tín hiệu ban đầu.
Các hình sau minh họa cho quá trình tổng hợp biểu đạt p(t) trong lấy ví dụ như trên cùng với w trong dải (-6, 6). Cùng với dải tần càng rộng, kết quả càng giống bộc lộ ban đầu.
Hình 3: Tổng hòa hợp tín hiệu
Có 1 phép toán rất đặc biệt trong đổi khác Fourier sẽ là phép chập (Convoulution). Phép chập vào miền thời gian của biểu lộ và biểu lộ , ký kết hiệu là *, quan niệm bởi phương pháp sau:
Sử dụng phương pháp (1.5), ta có thay đổi Fourier của phép chập như sau:
Trong đó,
phương pháp này chỉ tác dụng khi biểu lộ có form size lớn, việc triển khai phép chập cần rất nhiều phép nhân. Chi tiết hơn sẽ được trình bày tại phần sau.
1.4. Biến đổi Fourier rời rạc
Ảnh số là tín hiệu rời rạc. Vị đó, ta cần có cách thay đổi Fourier cùng với loại biểu đạt này, hay còn gọi là thay đổi Fourier rời rạc, viết tắt là DFT (Discrete Fourier Transform).
DFT của một tập N điểm là một trong tập cá điểm vào miền tần số, tính theo cách làm sau:
Ví dụ: Áp dụng DFT cho chuỗi biểu thị xung điểm tất cả biên độ A:
Áp dụng (1.4) đến (1.16):
Biên độ (Modulus) của số phức :
Hình 4: Hàm xung và đổi khác DFT
Tương trường đoản cú như biến hóa Fourier, ta cũng hoàn toàn có thể dùng công dụng của DFT để tổng đúng theo lại biểu đạt rời rộc rạc trong miền thời hạn từ những thành phần tần số dạng sin. Các hệ số của DFT cho biết biên độ của các thành phần tần số.
Công thức biến đổi DFT ngược:
Hình 5: Tổng hợp biểu đạt từ công dụng DFT
Bên bên trên ta new chỉ xét biến đổi DFT 1 chiều. Mặc dù nhiên, nhằm xử lý hình ảnh số, ta bắt buộc phép chuyển đổi DFT 2 chiều. Ta sẽ xét sự chuyển đổi giá trị điểm hình ảnh theo 2d tọa độ Ox và Oy, tương xứng có 2 chiều trong miền tần số, để là u với v.
Biến thay đổi DFT cho hình ảnh kích thước N × N tính theo bí quyết sau:
Hình 6: thay đổi DFT 2 chiều
Hình 6 minh họa thay đổi DFT 2 chiều. Ảnh gốc chỉ bao gồm sự đổi khác giá trị theo hướng Ox nên tương xứng trong miền tần số chỉ gồm sự biến hóa giá trị theo u.
Xem thêm: Hồng Quế Là Ai? Tiểu Sử, Sự Nghiệp Và Đời Tư Tình Cảm Nữ Người Mẫu Hồng Quế
Giống như các chuyển đổi trước, DFT 2d có biến đổi ngược theo phương pháp sau:
Một quánh tính đặc biệt quan trọng của biến đổi DFT là tính lặp lại, giỏi chu kỳ. Ta sẽ minh chứng DFT 2 chiều có công dụng này. Với biến hóa DFT của ảnh kích thước N × N , với m và n là những số nguyên, ta tính:
Do m, n nguyên buộc phải nguyên. Áp dụng (1.2) được:
Kết trái (1.27) cho biết thêm tuần trả với chu kỳ N, cùng với N × N là size của ảnh đầu vào.
Như vậy, tuy vậy các đổi thay u và v không biến thành chặn (từ -∞ mang đến ∞ ), nhưng mà do đặc điểm tuần hoàn nên công dụng của biến đổi DFT 2d của hình ảnh N × N chỉ cần biểu diễn dưới dạng ma trận N × N.
Giá trị còn điện thoại tư vấn là thông số DC (Direct Current). Nạm u = v = 0 vào phương trình (1.17) ta được:
Hay là tổng giá bán trị tất cả các điểm hình ảnh chia cho .
Hình 7 mặt trái biểu diễn kết quả biến đổi DFT bên dưới dạng ma trận. Ta thực hiện phép dịch để được kết quả như hình bên phải, điểm tần số 0 (hệ số DC) nằm ở giữa ma trận, những điểm màn trình diễn tần số tăng mạnh theo chiều tiến ra biên.
Hình 7: Dịch thông số DC vào giữa ma trận kết quả
Phương trình (1.29) cho biết thêm khi nhân từng điểm hình ảnh với , điểm màn trình diễn DFT bị dịch đi một đoạn theo cả hai trục. Có nghĩa là điểm tần số 0 đã nằm vị trí trung tâm ma trận hiệu quả biểu diễn miền tần số.
Thực tế là đổi khác DFT theo định nghĩa khá chậm khi triển khai trên hình ảnh có kích cỡ lớn do đề nghị thực hiện tương đối nhiều phép nhân. Chuyển đổi DFT thường được thực hiện bằng thuật toán Fast Fourier Transform (FFT) giúp cải thiện rất nhiều cân nặng tính toán. Tài liệu này không trình bày cụ thể FFT.
Ví dụ: Tính DFT một chiều cho bộc lộ rời rạc gồm phần tử đề xuất tới
phép nhân. Mặc dù nhiên, FFT chỉ việc n . Bởi vì đó, tốc độ xử lý tăng lần.
Bảng 1: So sánh thực hiện DFT theo định nghĩa và áp dụng FFT
| Kích thước (2n) | Số phép nhân | Tỉ lệ(Định nghĩa/FFT) | |
| Định nghĩa | FFT | ||
| 4 | 16 | 8 | 2.0 |
| 8 | 84 | 24 | 2.67 |
| 16 | 256 | 64 | 4.0 |
| 32 | 1024 | 160 | 6.4 |
| 64 | 4096 | 384 | 10.67 |
| 128 | 16384 | 896 | 18.3 |
| 256 | 65536 | 2048 | 32.0 |
| 512 | 262144 | 4608 | 56.0 |
| 1024 | 1048576 | 10240 | 102.4 |
Phép chập giữa 2 hình ảnh A cùng B, hay chập 2 chiều, quan niệm theo phương pháp sau:
Phép chập này được sử dụng không ít trong giải pháp xử lý ảnh. Nó đó là cách thực hiện mặt nạ nhằm lọc biên (Sobel, Prewit, Robert), nhiễu , thanh lọc thông thấp thông cao (Gaussian). Hệt như chập dấu hiệu 1 chiều, phép chập tín hiệu 2d trong miền thời gian tương đương phép nhân trong miền tần số.
Hình 8: Phép chập trong cách xử lý ảnh
Lưu ý: Như đã đề cập sinh sống trên, công dụng của phép DFT thường chỉ trình diễn dạng ma trận N × N, cùng với N × N là form size ảnh. Nhưng trong miền tần số, u và v không biến thành giới hạn và kết quả DFT có tính tái diễn theo N.
Giả sử ta phải lọc ảnh N × N sử dụng mặt nạ m × n. Độ tinh vi của FFT 2 chiều là . Nếu mặt nạ dùng làm lọc đang được đổi khác trước thì ta chỉ cần dùng FFT 2 lần. Sau đó, bắt buộc N² phép nhân nhằm nhân 2 hình ảnh và phương diện nạ vào miền tần số. Tổng vừa lòng độ phức tạp:
Thực hiện nay lọc theo định nghĩa bắt buộc phép nhân cho mỗi điểm ảnh. Số phép nhân cho toàn cục quá trình lọc theo tư tưởng là:
Ví dụ: Với hình ảnh kích thước 256×256, ta sử dụng chập thẳng với bộ lọc xuất hiện nạ kích cỡ 3×3, 5×5 hoặc 7×7. Với khía cạnh nạ mập hơn, áp dụng FFT cho tác dụng nhanh hơn.
2. Ứng dụng Fourier transform2.1. Bộ lọc thông thấp, thông cao
Ta đang biết, trong hình ảnh xám, vùng hình ảnh mà cực hiếm giữa các Pixel đổi khác đột ngột là vùng ảnh tần số cao, ví như biên hoặc nhiễu. Ngược lại, vùng ảnh mà giá chỉ trị những Pixel biến đổi rất ít là vùng hình ảnh có tần số thấp, ví dụ như vùng nền (Background).
Giả sử, ta gồm ma trận kết quả đổi khác DFT của 1 hình ảnh xám, hệ số DC được dịch vào giữa. Do các thành phần tần số thấp làm việc gần trọng điểm ma trận, ta hoàn toàn có thể thực hiện những bộ thanh lọc tần số thấp bằng cách loại bỏ những hệ số ở phương pháp xa tâm.
Hình 9: Ảnh xám (trái) và biến hóa DFT (phải)
Hình 10: thanh lọc thông thấp (trái) và hiệu quả (phải)
Hình bên trên minh họa lọc thông tốt trong miền tần số. Cùng với kích thước hình tròn càng nhỏ tuổi thì hình càng lại mờ do các thành phần tần số cao bị lọc đi nhiều.
Xem thêm: Palmitic Acid Là Gì ? Có Tác Dụng Gì Trong Mỹ Phẩm? Palmitic Acid Là Gì
Hình 11: thanh lọc thông thấp với các size bộ lọc
Ngược lại với thanh lọc thông thấp. Thanh lọc thông cao sẽ sa thải các hệ số ở gần trọng tâm và giữa lại các hệ số cách xa tâm. Cùng với kích thước hình trụ càng lớn thì biên của đối tượng trong ảnh càng hiện rõ. Tuy nhiên, cỗ lọc này sẽ không lọc được nhiễu.
